Ciao da Piero,
Oggi voglio terminare questa serie di articoli sul numero di Archita e la scala temperata.
Archita conosceva la relazione fra intervalli musicali e frazioni che conduce alla costruzione della scala pitagorica e pose il problema teorico del perché gli intervalli dovessero essere progressivamente suddivisi secondo quelle particolari proporzioni, anziché suddividere semplicemente ogni intervallo in due sottointervalli uguali.
Giunse ad un divisore dell’ottava prossimo a л/3.
Per comprendere la natura del problema si deve ricordare che per definizione gli intervalli musicali si compongono moltiplicando fra loro i rapporti corrispondenti: ad esempio, l’ottava 2:1 si può ottenere componendo una quinta 3:2 con una quarta 4:3, infatti 3:2 x 4:3 = 2:1.
Quindi per suddividere un intervallo a:b in due parti uguali si deve trovare il medio proporzionale fra a e b, ossia il numero x tale che a:x = x:b e ciò equivale a cercare la radice quadrata del rapporto a:b.
Archita osservò che l’intervallo di doppia ottava (4:1) si può suddividere in due sottointervalli uguali (rappresentati dal rapporto 2:1), ma dimostrò matematicamente che nessun rapporto del tipo n+1/n (genere a cui appartengono tutti gli intervalli fondamentali della scala pitagorica: 2:1, 3:2, 4:3, 9:8), ammette un medio proporzionale fra i numeri interi: quindi nessuno di quegli intervalli può essere suddiviso in due parti uguali se si mantiene l’ipotesi che ogni intervallo musicale corrisponda a un rapporto fra numeri interi.
Archita pensò invece di risolvere il problema utilizzando (ed iniziando) la geometria di movimento.
Servendosi di una curva, conosciuta come curva di Archita, la prima curva gobba (cioè non contenuta in alcun piano) che si incontra nella storia della matematica.
La curva è generata dall’intersezione della superficie di un cilindro e di un semicerchio in rotazione rispetto a uno dei suoi estremi; l’asse del cilindro e quello che passa al centro del semicerchio erano convergenti.
È un metodo analogo a quello con il quale Wiles, nel 1994, risolse in teorema di Fermat.
In pratica Archita immaginò che le note si muovessero sulla linea generata dalle due figure in rotazione e questo andamento era sinusoide (come in effetti ci mostra l’oscilloscopio), e che il distanziamento delle note fosse proprio л/3.
La differenza tra l’attuale 12√2 ed il л/3 di Archita (1,059463… – 1,047197… = 0,012266…) è nell’ordine del centesimo ed è dovuta ad un fenomeno allora sconosciuto e cioè alla combinazione degli armonici della stessa nota.
Gli armonici naturali sono una successione di suoni (ipertoni) le cui frequenze sono multipli della nota fondamentale.
Ad esempio, se una corda di lunghezza L emette un Mi (primo armonico), la stessa corda vibra con meno intensità anche a frequenza doppia (pari alla lunghezza L/2, secondo armonico), emettendo un Mi all’ottava superiore, e così via, suddividendo la lunghezza d’onda in multipli interi L/3, L/4, eccetera.
La risultante delle tre armoniche sottrae piccolissime frazioni di altezza d’onda a quella della nota fondamentale.
Il fenomeno fu rivelato dall’oscilloscopio, inventato da Braun nel 1897, e White, nel 1917 se ne servì per rideterminare i criteri di partizione dell’ottava musicale.
(Articolo scritto da Piero)
