Ciao da Piero,
continuando il nostro viaggio per arrivare alla formazione della scala temperata, vediamo oggi che se le frequenze fondamentali di due note sono rispettivamente f1 ed f2, al loro intervallo viene associato il valore in cent dato da 1200 log2 (f1/f2).
Il valore del cent rappresenta un centesimo di semitono equabile dell’ottava, quindi 12 semitoni = 1200 cent e il semitono equabile vale esattamente un dodicesimo dell’ottava, ossia 100 cent.
Prendendo in considerazione un suono, vediamo che la frequenza dell’ottava superiore è doppia e quella dell’ottava superiore successiva raddoppia ancora diventando il quadruplo di quella del suono originario.
Così di seguito, di ottava in ottava, aumentando sempre di una potenza di 2:
v = v02Δω
Consideriamo il La4.
Il salto di un’ottava (verso l’alto o verso il basso), che corrisponde al raddoppiamento (o al dimezzamento) della frequenza, si definisce formalmente V(R,R).
La frequenza della nota x sarà v(x) = v02Δω(x)
Δω(x) è il salto di ottava tra la nota x e la nota fondamentale è Δω(x) = x – La4
V0 è la frequenza della nota di riferimento V0 = V (La4) = 440 Hz
- se Δω(x) = 1 → Vx = 2V0
- se Δω(x) = 0 → Vx = V0
- se Δω(x) = -1 → Vx = V0/2
La differenza tra due note, x ed y, conosciuta una delle due, è Vx relativa a Vy = V0 e viceversa (cambiando segno a Δω).
Se x ed y sono entrambe sconosciute, si calcolano entrambe relativamente a V0 = 440 Hz e poi si sottraggono.
| Δω | = v0 | 2Δω(x) – 2Δω(y) |
La frequenza di una nota distante Δn semitoni dalla nota di riferimento → imporre Δω = Δn/12 (n semitoni, ω ottave).
Da ciò Archita ricavò l’equazione del sistema temperato che oggi possiamo scrivere nella forma Vx = V0 2Δω(x)/12
Dato che 2Δω = V1/V2 → intervallo di ottave Δω=log2(v1/v2)
Intervallo di semitoni Δn = 12 log2 (v1/v2) con v1 e v2 > 0, da cui:
lim Δω → [v0 2Δω] = 0
Sebbene lo abbiamo espresso con la notazione matematica moderna, questa conclusione non è molto dissimile da quanto affermava Archita.
In un prossimo articolo concluderemo questo argomento.
(articolo scritto da Piero)