Il numero di Archita e la scala temperata (parte 2)

Ciao da Piero,

voglio continuare oggi il viaggio per arrivare alla scala temperata, continuando con Archita da Taranto (Ἀρχύτας – 442 a.C.), che si propose di superare il problema dei comma musicali.

Affermò che l’ottava poteva essere divisa in 12 semitoni uguali ed indicò un divisore che ne consentisse la partizione, cioè un numero prossimo ad un terzo di л.

Archita descrisse la costruzione delle scale musicali nei tre generi diatonico, cromatico ed enarmonico calcolandone i criteri di divisione dell’ottava.

Diversamente dalla scala pitagorica, il tetracordo diatonico proposto da Archita è formato dai rapporti 9:8, 8:7 e 28:27 (quello pitagorico contiene invece due intervalli di tono uguali, 9:8, e un semitono di 256:243).

Nel tetracordo cromatico di Archita figurano gli intervalli 5:4, 36:35 e 28:27, e in quello enarmonico gli intervalli 32:27, 243:224 e 28:27.

Nel 320 a.C. Aristosseno (Ἀριστόξενος) anche lui tarantino, riprese i frammenti degli studi di Archita e cercò di stabilire il quanto prossimo questo numero dovesse essere a л/3, se maggiore o minore di л/3, ecc.

Il problema di superare i temperamenti inequabili (o buoni temperamenti), in cui l’ottava non è divisa in parti uguali, fu posto, dal matematico fiammingo Simone Stevino, dal liutista Vincenzo Galilei (padre di Galileo Galilei) e da altri.

Intorno alla fine del ‘600 si giunse ad un primo tentativo approssimato per superare i temperamenti inequabili, grazie al lavoro di Andreas Werckmeister, Johann Georg Neidhart, Francesco Antonio Vallotti e da altri autori.

Leibnitz (1702) pensò alla possibile applicazione di logaritmi (inventati da Napier nel 1614) alla scala musicale, applicazione proposta poi da Alexander Ellis (1875), ma bisognerà attendere fino al 1917 affinché William Braid White arrivasse a sviluppare un metodo praticamente utilizzabile per accordare un pianoforte secondo un temperamento equabile rigoroso.

Il temperamento equabile è un aggiustamento dei gradi della scala naturale in modo da dare uniformità ai vari tipi d’intervallo ed eliminare le ambiguità tra tono maggiore e minore o semitono diatonico e cromatico.

L’idea di base è la stessa di Archita ed Aristosseno: suddividere l’ottava in 12 intervalli elementari (semitoni temperati) tutti esattamente della stessa ampiezza.

L’ampiezza di un intervallo corrisponde al rapporto fra le frequenze fondamentali delle due note (e non alla differenza delle frequenze).

Poiché l’intervallo di ottava è espresso dalla frazione 2/1 (in quanto la frequenza raddoppia ad ogni ottava), il rapporto di frequenze che identifica il semitono temperato è il numero irrazionale ¹²√2 (cioè quasi identico a quello proposto da Archita ed Aristosseno).

In questo modo dodici semitoni coprono esattamente l’intervallo di un’ottava.

Poiché ¹²√2 ~1,06 ~ 18/17 , il semitono temperato risulta essere una via di mezzo tra il semitono cromatico (25/24 = 1,041666…) e il semitono diatonico (16/15 = 1,06666…) della scala naturale.

In effetti il divisore dell’ottava, ¹²√ 2 =1,0594630943592… è vicinissimo a л/3=1,0471975… postulato sia da Archita che da Aristosseno.

Il tono vale ¹²√2 x ¹²√2 ~ 1,1224, cioè è molto più vicino al tono maggiore naturale (9/8 =1,125) che al tono minore (10/9 =1,111…).

Come conseguenza la terza maggiore temperata è decisamente crescente rispetto alla terza maggiore naturale (che è formata da un tono maggiore e un tono minore).

Per oggi mi fermo qui e ti do’ appuntamento al prossimo articolo su questo argomento.

(Articolo scritto da Piero)